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Ein Postnikow-Turm oder Postnikow-System ist im mathematischen Teilgebiet der algebraischen Topologie eine Methode, einen gegebenen topologischen Raum in Eilenberg-MacLane-Räume zu zerlegen, was zum Beispiel die Berechnung seiner Homologiegruppen mittels Spektralsequenzen ermöglicht.

• Definition

• Eigenschaften

• Siehe auch

• Literatur

• Weblinks

Es sei X {\displaystyle X} ein gegebener topologischer Raum. Ein Postnikow-Turm von X {\displaystyle X} ist eine Folge

… … → → Y n → → Y n − − 1 → → … … → → Y 2 → → Y 1 {\displaystyle \ldots \to Y_{n}\to Y_{n-1}\to \ldots \to Y_{2}\to Y_{1}}

von Abbildungen topologischer Räume mit folgenden Eigenschaften:

• für alle n {\displaystyle n} ist Y n → → Y n − − 1 {\displaystyle Y_{n}\to Y_{n-1}} eine Faserung

• für alle k > n {\displaystyle k>n} ist π π k Y n = 0 {\displaystyle \pi _{k}Y_{n}=0}

• für alle k ≤ ≤ n {\displaystyle k\leq n} ist π π k Y n = π π k X {\displaystyle \pi _{k}Y_{n}=\pi _{k}X} .

• Ein Postnikow-Turm existiert für jeden zusammenhängenden Raum. Für CW-Komplexe X {\displaystyle X} sind die Räume im Postnikow-Turm bis auf Homotopieäquivalenz eindeutig bestimmt, sonst nur bis auf schwache Homotopieäquivalenz.

• Man erhält Y n {\displaystyle Y_{n}} (bis auf Homotopieäquivalenz) aus X {\displaystyle X} , indem durch Ankleben von Zellen der Dimensionen ≥ ≥ n + 2 {\displaystyle \geq n+2} an X {\displaystyle X} die Homotopiegruppen in Graden ≥ ≥ n + 1 {\displaystyle \geq n+1} "getötet" werden. (Indem man die Inklusion Y n + 1 → → Y n {\displaystyle Y_{n+1}\to Y_{n}} durch ihren Abbildungskegel ersetzt, erhält man eine Faserung, ohne den Homotopietyp zu ändern.)

• Falls X {\displaystyle X} ein CW-Komplex ist, dann ist Y 1 {\displaystyle Y_{1}} ein Eilenberg-MacLane-Raum K ( π π 1 X , 1 ) {\displaystyle K(\pi _{1}X,1)} und die Faser der Faserung Y n → → Y n − − 1 {\displaystyle Y_{n}\to Y_{n-1}} ist ein Eilenberg-MacLane-Raum K ( π π n X , n ) {\displaystyle K(\pi _{n}X,n)} .

• Die Abbildung von X {\displaystyle X} in den projektiven Limes lim ← ← n ∈ ∈ N ⁡ ⁡ Y n {\displaystyle \varprojlim _{n\in \mathbb {N} }Y_{n}} ist eine schwache Homotopieäquivalenz.

• Falls die Wirkung von π π 1 X {\displaystyle \pi _{1}X} auf π π n X {\displaystyle \pi _{n}X} für n > 1 {\displaystyle n>1} trivial ist, lassen sich die Faserungen Y n → → Y n − − 1 {\displaystyle Y_{n}\to Y_{n-1}} als Hauptfaserbündel realisieren.

• Whitehead-Turm

• M. M. Postnikow: Determination of the homology groups of a space by means of the homotopy invariants. In: Doklady Akad. Nauk SSSR. (N.S.) 76, 1951, 359–362. (russisch)

• R. Bott, L. W. Tu: Differential forms in algebraic topology. (= Graduate Texts in Mathematics. 82). Springer-Verlag, New York / Berlin 1982, ISBN 0-387-90613-4.

• Allen Hatcher: Algebraic topology. Cambridge University Press, Cambridge 2002, ISBN 0-521-79160-X.

• P. Griffiths, J. Morgan: Rational homotopy theory and differential forms. (= Progress in Mathematics. 16). 2. Auflage. Springer, New York 2013, ISBN 978-1-4614-8467-7.

• Killing homotopy groups: Postnikov and Whitehead towers